Discussion Forum

 If  $A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$ and   $I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$  then for all  $n\in N$

Answer:

Explanation:

 We have

$A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$ and   $I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

 Now,     $A^{2}=A.A=$  $\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

 =$2\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}=2A-(2-1)I$

Again,     $A^{3}=A^{2}.A=$  $\begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 3 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

 $=3\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}=3A-(3-1)I$

 $\therefore$     $A''= nA-(n-1)I$