Discussion Forum



1)

 If  $A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$ and   $ I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$  then for all  $n\in N$

 


A) $A^{n}=nA$

B) $A^{n}=nA+(n-1)A$

C) $A^{n}=(n-1)A-nl$

D) $A^{n}=nA-(n-1)l$

Answer:

Option D

Explanation:

 We have

$A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$ and   $ I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

 Now,     $A^{2}=A.A=$  $\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

 =$2\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}=2A-(2-1)I$

Again,     $A^{3}=A^{2}.A=$  $\begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 3 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

 $=3\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}=3A-(3-1)I$

 $\therefore$     $A''= nA-(n-1)I$