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1)

If $\triangle_{1}=\begin{bmatrix}1 & a^{2}&a^{3}\\1 & b^{2}&b^{3}\\1&c^{2} &c^{3} \end{bmatrix} and \triangle_{2}=\begin{bmatrix}bc & b+c&1 \\ca & c+a&1\\ab&a+b&1 \end{bmatrix}$

 then   $\frac{\triangle_{1}}{\triangle_{2}}=$

Answer:

Option A

Explanation:

$\triangle_{1}=\begin{bmatrix}1 & a^{2}&a^{3}\\1 & b^{2}&b^{3}\\1&c^{2} &c^{3} \end{bmatrix}$

$R_{2}\rightarrow  R_{2}-R_{1}, R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$

=$\begin{bmatrix}1 & a^{2}&a^{3}\\0 & b^{2}-a^{2}&b^{3}-a^{3}\\0&c^{2}-a^{2} &c^{3}-a^{3} \end{bmatrix}$

=$(b-a)(c-a)\begin{bmatrix}1 & a^{2}&a^{3}\\0 & b^{}+a^{}&b^{2}+a^{2}+ab\\0&c^{2}+a^{2} &c^{2}+a^{}+ac \end{bmatrix}$

=$(b-a)(c-a)[(b+a)(c^{2}+a^{2}+ac)-(c+a)(b^{2}+a^{2}+ab)]$

=$(b-a)(c-a)[bc^{2}+a^{2}b+abc+ac^{2}+a^{3}$

$+a^{2}c-b^{2}c-a^{2}c-abc-b^{2}a-a^{3}-a^{2}b]$

=$(b-a)(c-a)[(b-c)(ab+bc+ca)]$

=$-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$

 Now, $\triangle_{2}=\begin{bmatrix}bc & b+c&1 \\ca & c+a&1\\ab&a+b&1 \end{bmatrix}$

 $R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}$ and  $R_{3}\rightarrow  R_{3}-R_{1}$

 $=\begin{bmatrix}bc & b+c&1 \\c(a-b) & a-b&0\\b(c-a)&a-c&0 \end{bmatrix}= (a-b)(c-a)\begin{bmatrix}bc & b+c&1 \\c & 1&0\\a&1&0 \end{bmatrix}$

  $=(a-b)(c-a)[1(c-b)]$

    $=(a-b)(c-b)(c-a)$

Now, $\frac{\triangle_{1}}{\triangle_{2}}$= $\frac{-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)}{-(a-b)(b-c)(c-a)}$

$\frac{\triangle_{1}}{\triangle_{2}}$ = (ab+bc+ca)