Answer:
Option A
Explanation:
$\triangle_{1}=\begin{bmatrix}1 & a^{2}&a^{3}\\1 & b^{2}&b^{3}\\1&c^{2} &c^{3} \end{bmatrix}$
$R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}, R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$
=$\begin{bmatrix}1 & a^{2}&a^{3}\\0 & b^{2}-a^{2}&b^{3}-a^{3}\\0&c^{2}-a^{2} &c^{3}-a^{3} \end{bmatrix}$
=$(b-a)(c-a)\begin{bmatrix}1 & a^{2}&a^{3}\\0 & b^{}+a^{}&b^{2}+a^{2}+ab\\0&c^{2}+a^{2} &c^{2}+a^{}+ac \end{bmatrix}$
=$(b-a)(c-a)[(b+a)(c^{2}+a^{2}+ac)-(c+a)(b^{2}+a^{2}+ab)]$
=$(b-a)(c-a)[bc^{2}+a^{2}b+abc+ac^{2}+a^{3}$
$+a^{2}c-b^{2}c-a^{2}c-abc-b^{2}a-a^{3}-a^{2}b]$
=$(b-a)(c-a)[(b-c)(ab+bc+ca)]$
=$-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$
Now, $\triangle_{2}=\begin{bmatrix}bc & b+c&1 \\ca & c+a&1\\ab&a+b&1 \end{bmatrix}$
$R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}$ and $R_{3}\rightarrow R_{3}-R_{1}$
$=\begin{bmatrix}bc & b+c&1 \\c(a-b) & a-b&0\\b(c-a)&a-c&0 \end{bmatrix}= (a-b)(c-a)\begin{bmatrix}bc & b+c&1 \\c & 1&0\\a&1&0 \end{bmatrix}$
$=(a-b)(c-a)[1(c-b)]$
$=(a-b)(c-b)(c-a)$
Now, $\frac{\triangle_{1}}{\triangle_{2}}$= $\frac{-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)}{-(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\frac{\triangle_{1}}{\triangle_{2}}$ = (ab+bc+ca)
