Discussion Forum

$\alpha$  and $\beta$ are the roots of $x^{2}+2x+c=0$. If $\alpha^{3}+\beta^{3}=4$, then the value of c is 

Answer:

Explanation:

Given  , $\alpha$ and $\beta$ are roots of $x^{2}+2x+c=0$

 $\therefore$    Sum of roots , $\alpha+\beta$= -coefficient of x / coefficient of x²

 $\Rightarrow$     $\alpha+\beta=\frac{-2}{1}=-2$    .......(i)

  and products of roots , $\alpha \beta$= costant term/ coefficient of x²

 $\Rightarrow$     $\alpha \beta =\frac{c}{1}=c$         .......(ii)

 Since , $\alpha^{2}+\beta^{2}=4$         [given]

 $\Rightarrow$  $(\alpha+\beta)(\alpha^{2}+\beta^{2}-\alpha \beta)=4$

                                $\left[\because a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)\right]$

  $\Rightarrow$      $(\alpha+\beta)[(\alpha^{2}+\beta^{2}-3\alpha\beta)]=4$

                                             $\left[\because a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2\alpha\beta)\right]$

    $\Rightarrow$     $(-2)[(-2)^{2}-3 \times c]=4$   [ From Eqs,(i) and (ii)]

 $\Rightarrow$             (-2)[4-3c]=4

 $\Rightarrow$            $4-3c=\frac{-4}{2}$

 $\Rightarrow$                 $4-3c=-2$

 $\Rightarrow$          $-3c=-2-4$

 $\Rightarrow$        -3c=-6

                         c=2