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The  least value of  $\alpha   \epsilon R$ for which  $4\alpha x^{2}+\frac{1}{x}\geq 1,$ , for all x >0, is 

Answer:

Explanation:

 Here, to find the least value of   $\alpha   \epsilon R$ . for which  

                           $4\alpha x^{2}+\frac{1}{x}\geq 1,$ , for all x >0

 i.e. to find the minimum value of $\alpha$ when

                  $y=4\alpha x^{2}+\frac{1}{x};x>0$  attains minimum value of $\alpha$

                 $\therefore$           $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=8\alpha x-\frac{1}{x^{2}}$    .....(i)

           Now,      $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=8\alpha +\frac{2}{x^{3}}$       ........(ii)

                        when       $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=0,$

         then                $8x^{3}\alpha =1$

           $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=8\alpha+16\alpha=24\alpha ,$ Thus, y attains minimum when

                            $x=(\frac{1}{8\alpha})^{\frac{1}{3}}: \alpha >0.$

     $\therefore$ y attains minimum when   $x=(\frac{1}{8\alpha})^{\frac{1}{3}}$

 i.e,   $4\alpha(\frac{1}{8\alpha})^{\frac{2}{3}}+(8\alpha)^{\frac{1}{3}}\geq1$

    $\Rightarrow \alpha^{\frac{1}{3}}+2\alpha^{\frac{1}{3}}\geq1\Rightarrow 3\alpha^{\frac{1}{3}}\geq1$

$\Rightarrow$                     $\alpha \geq\frac{1}{27}$

     Hence, the least value of $\alpha$   is  $\frac{1}{27}$