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Let $\tan ^{-1}y= \tan ^{-1} x+\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^{2}}\right)$ where  $|x|<\frac{1}{\sqrt{3}}$. Then, the value of y is

Answer:

Explanation:

Given,

                $\tan ^{-1}y= \tan ^{-1} x+\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^{2}}\right)$

where    $|x|<\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow$    $\tan ^{-1}y=\tan ^{-1}\left\{\frac{x+\frac{2x}{1-x^{2}}}{1-x\left(\frac{2x}{1-x^{2}}\right)}\right\}$

          $[\therefore \tan ^{-1}x+ \tan ^{-1} y= \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

                                                             x>0, y>0,xy<1]

                                        =    $\tan ^{-1}\left(\frac{x-x^{3}+2x}{1-x^{2}-2x^{2}}\right)$

                              $\tan ^{-1}y= \tan ^{-1}\left(\frac{3x-x^{3}}{1-3x^{2}}\right)$

 $\Rightarrow$             $y= \frac{3x-x^{3}}{1-3x^{2}}$

 Aliter

               $|x|<\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$

  Let             $x=\tan\theta$

  $\Rightarrow$   $-\frac{\pi}{6}<\theta<\frac{\pi}{6}$

$\therefore$     $\tan^{-1} y =\theta+\tan^{-1}(tan 2\theta)$

                                        =  $\theta+ 2\theta=3\theta$

 $\Rightarrow$    $y=tan 3\theta$

$\Rightarrow$    $y=\frac{3 \tan\theta-\tan^{3}\theta}{1-3tan^{2}\theta}$

$\Rightarrow$                  $y=\frac{3 x-x^{3}}{1-3x^{2}}$