Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js


1)

 Let   F:RR  be a thrice  differentiable  function. Suppose that  F(1)=0,F(3)=-4  and F'(x)<0 for x ε (1,3)  , Let f(x)=xF(X) for all x ε R.

 If  31x2F(x)dx=12      and           31x3F"(x)=dx=40, then the correct expression(s) is/are

  


A) 9f(3)+f(1)32=0

B) 31f(x)dx=12

C) 9 f'(3)-f'(1)+32=0

D) 31f(x)dx=12

Answer:

Option A,B,C

Explanation:

 Given,    31x2F(x)dx=12 

                   [x2F(x)]31312x.F(x)dx=12

                           9F(3)F(1)31f(x)dx=12

                                          [

   \Rightarrow                    -36-0-2\int_{1}^{3} f(x)dx=-12

                \therefore              \int_{1}^{3} f(x) dx=-12

 and         \therefore             \int_{1}^{3} x^{3} F"(x) dx=40

\Rightarrow          [x^{3} F'(x)]_1^3-\int_{1}^{3} 3x^{2}F'(x)dx=40

             \Rightarrow        [x^{2}(xF'(x)]_1^3-3\times(-12)=40

            \Rightarrow \left\{x^{2}.[f'(x)-F(x)]\right\}_1^3=4

\Rightarrow    9[f'(3)-F(3)]-[f'(1)-F(1)]=4

\Rightarrow                   9[f'(3)+4]-[f'(1)-0]=4

\Rightarrow            9f'(3)-f'(1)=-32