Discussion Forum

 Let   $F:R\rightarrow R$  be a thrice  differentiable  function. Suppose that  F(1)=0,F(3)=-4  and F'(x)<0 for x ε (1,3)  , Let f(x)=xF(X) for all x ε R.

 If  $\int_{1}^{3}x^{2} F'(x)dx=-12$      and           $\int_{1}^{3} x^{3}F"(x)=dx=40$, then the correct expression(s) is/are

Answer:

Explanation:

 Given,    $\int_{1}^{3}x^{2} F'(x)dx=-12$ 

      $\Rightarrow$             $ [x^{2}F(x)]_1^3-\int_{1}^{3}2x.F(x) dx=-12 $

                           $\Rightarrow 9F(3)-F(1)-\int_{1}^{3}f(x) dx=-12 $

                                          $[\therefore xF(x)=f(x), given]$

   $\Rightarrow$                   $ -36-0-2\int_{1}^{3} f(x)dx=-12$

                $\therefore$              $\int_{1}^{3} f(x) dx=-12$

 and         $\therefore$             $\int_{1}^{3} x^{3} F"(x) dx=40$

$\Rightarrow$          $[x^{3} F'(x)]_1^3-\int_{1}^{3} 3x^{2}F'(x)dx=40$

             $\Rightarrow$       $ [x^{2}(xF'(x)]_1^3-3\times(-12)=40$

            $\Rightarrow \left\{x^{2}.[f'(x)-F(x)]\right\}_1^3=4$

$\Rightarrow $   $9[f'(3)-F(3)]-[f'(1)-F(1)]=4$

$\Rightarrow$                   $9[f'(3)+4]-[f'(1)-0]=4$

$\Rightarrow$            $ 9f'(3)-f'(1)=-32$