Discussion Forum

If   $\alpha=\int_{0}^{1} e^{(9x+3\tan^{-1}x)}\left(\frac{12+9x^{2}}{1+x^{2}}\right)dx$, where tan^-1 x takes only principal values, then the value of   $\log_{e}|1+\alpha|-\frac{3\pi}{4}$  is 

Answer:

Explanation:

Here , 

                    $\alpha=\int_{0}^{1} e^{(9x+3\tan^{-1}x)}\left(\frac{12+9x^{2}}{1+x^{2}}\right)dx$

 Put         $9x+3\tan^{-1}x=1$

    $\Rightarrow$                          $\left(9+\frac{3}{1+x^{2}}\right)dx=dt$

   $\therefore$                     $\alpha=\int_{0}^{9+3\pi/4} e^{t}dt= \left[ e^{t}\right]_0^{9+3\pi/4}$

                                                  = $e^{9+3\pi/4}-1$

 $\Rightarrow$               $\log_{e}|1+\alpha|=9+\frac{3\pi}{4}$

   $\Rightarrow$     $\log_{e}|\alpha+1|-\frac{3\pi}{4}=9$