Discussion Forum

Let m and n be two positive integers greater than 1. If $\lim_{\alpha \rightarrow0}\left(\frac{e^{\cos(\alpha^{n})}-e}{\alpha^{m}}\right)=-\left(\frac{e}{2}\right)$ ,then the value of $\frac{m}{n}$ is

Answer:

Explanation:

Given      $\lim_{\alpha \rightarrow0}\left(\frac{e^{\cos(\alpha^{n})}-e}{\alpha^{m}}\right)=-\left(\frac{e}{2}\right)$

$\Rightarrow$         $\lim_{\alpha \rightarrow0}\frac{e[e^{\cos(\alpha^{n})-1}-1].\cos (\alpha^{n})-1}{\cos(\alpha^{n})-1 \alpha^{m}}=\frac{-e}{2}$

$\Rightarrow$               $\lim_{\alpha \rightarrow 0}e\left\{\frac{e^{\cos(\alpha^{n})-1}-1}{\cos(\alpha^{n})-1}\right\}$  .

                                                         $\lim_{\alpha \rightarrow 0}\frac{-2\sin^{2}\frac{\alpha^{n}}{2}}{\alpha^{m}}$

                                                            =-e/2

$\Rightarrow$        $e\times1\times(-2)\lim_{\alpha \rightarrow 0}\frac{\sin^{2}\left(\frac{\alpha^{n}}{2}\right)}{\frac{\alpha^{2n}}{4}}.\frac{\alpha^{2n}}{4\alpha^{m}}=\frac{-e}{2}$

  $\Rightarrow$     $e\times1\times(-2)\times 1\lim_{\alpha \rightarrow 0}\frac{\alpha^{2n-m}}{4}=\frac{-e}{2}$

 For this to exist.   

 2n-m=0   $\Rightarrow$    $\frac{m}{n}=2$