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Let X  and Y be two arbitrary , 3x3  , non zero, skew-symmetric  matrices and Z be an arbitary , 3 x3 , non -zero , symmetric matrix. Then , which of the following matrices is/are skew-symmetric?

Answer:

Explanation:

Given,

      $X^{T}=-X,Y^{T}=-Y,Z^{T}=Z$

(a) Let  P= $Y^{3}Z^{4}-Z^{4}Y^{3}$

   Then,   $P^{T}= (Y^{3}Z^{4})^{T}-(Z^{4}Y^{3})^{T}$

                     $=(Z^{T})^{4}(Y^{T})^{3}-(Y^{T})^{3}(Z^{T})^{4}$

                          $=-Z^{4}Y^{3}+Y^{3}Z^{4}=P$

$\therefore$      P is symmetric matrix.

  (b)   Let       $P=X^{44}+Y^{44}$

         Then,    $P^{T}=(X^{T})^{44}+(Y^{T})^{44}$

                               =   $X^{44}+Y^{44}=P$

 $\therefore$       P is skew-symmetric matrix.

    (c)     Let   $P=X^{4}Z^{3}-Z^{3}X^{4}$

  Then,     $P^{T}=(X^{4}Z^{3})^{T}-(Z^{3}X^{4})^{T}$

    =     $(Z^{T})^{3}(X^{T})^{4}-(X^{T})^{4}(Z^{T})^{3}$

                        = $Z^{3}X^{4}-X^{4}Z^{3}=-P$

$\therefore$    P is skew- symmetric matrix

(d)        Let   $P=X^{23}+Y^{23}$

   Then,            $P^{T}=(X^{T})^{23}+(Y^{T})^{23}$

   =   -X²³  - Y ²³

           =-P

$\therefore$    P is skew-symmetric matrix.