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Let  $f:R\rightarrow R$ be a  function defined by   $f(x)=\begin{cases}[x], & x \leq 2\\0 & x > 2\end{cases}$ , where [x] denotes the greatest integer less than or equal to x. If   $I= \int_{-1}^{2} \frac{x f(x^{2})}{2+f(x+1)}dx,$, then the value of (4l-1) is 

Answer:

Explanation:

Here     ,  $f(x)=\begin{cases}[x] ,& x \leq 2\\0, & x > 2\end{cases}$

            $I=\int_{-1}^{2} \frac{xf(x^{2})}{2+f(x+1)}dx$

                         $I=\int_{-1}^{0} \frac{xf(x^{2})}{2+f(x+1)}dx$ + $\int_{0}^{1} \frac{xf(x^{2})}{2+f(x+1)}dx$+  $\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{xf(x^{2})}{2+f(x+1)}dx$

                                                 +   $\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{xf(x^{2})}{2+f(x+1)}dx$ +   $\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{xf(x^{2})}{2+f(x+1)}dx$

              =   $\int_{-1}^{0} odx+\int_{0}^{1} 0 dx+\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{x.1}{2+0}dx+ \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} o dx+\int_{\sqrt{3}}^{2}o.dx$  

                                                 {    $\because -1<x<0\Rightarrow 0<x^{2}<1\Rightarrow [x^{2}]=0,$

                                                       $o<x<1\Rightarrow 0<x^{2}<1\Rightarrow[x^{2}]=0,$

                                                          $1< x<\sqrt{2}\Rightarrow$   $\begin{cases}1<x^{2}<2 & \Rightarrow[x^{2}]=1\\2<x+1<1+\sqrt{2}      &\Rightarrow f(x+1)=0\end{cases}$

                                           $\Rightarrow$    f(x²)= 0,

                                                   and  $\sqrt{3}<x<2\Rightarrow3<x^{2}<4$

                                                $\Rightarrow$    f(x² )=0 }

  $\Rightarrow$      $I= \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{x}{2}dx=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]^{\sqrt{2}}_{1}$

                           $=\frac{1}{4}(2-1)=\frac{1}{4}$

                   $\therefore$          4l =1    $\Rightarrow$    4l-1=0